Sequência de Fibonacci

Ficheiro:Yupana 1.GIF

Yupana (em quíchua, "instrumento de contagem"): calculadora usada pelos incas, possivelmente baseada nos números de Fibonacci.

Na matemática, os números de Fibonacci são uma sequência ou sucessão definida como recursiva pela fórmula abaixo:

$F(n)=\left\{{\begin{matrix}0\,,\qquad \qquad \qquad \quad \,\ \ \,&&{\mbox{se }}n=0\,;\ \ \\1,\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&{\mbox{se }}n=1;\ \ \,\\F(n-1)+F(n-2)&&{\mbox{outros casos.}}\end{matrix}}\right.$

O algoritmo recursivo que define a série aplica-se, na prática, conforme a regra sugere: começa-se a série com 0 e 1; a seguir, obtém-se o próximo número de Fibonacci somando-se os dois anteriores e, assim, sucessiva e infinitamente. Os primeiros números de Fibonacci (sequência A000045 na OEIS) para n = 0, 1,… são

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses se for suposto que:

• no primeiro mês nasce apenas um casal,
• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
• não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo,
• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
• os coelhos nunca morrem.

Em seu livro Liber Abaci (1202), Fibonacci introduziu a sequência na matemática ocidental, embora ela já tivesse sido descrita por matemáticos indianos.

A sequência de Fibonacci tem inúmeras aplicações. É usada na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos. Também aparece em configurações biológicas, como, por exemplo, na disposição dos galhos das árvores ou das folhas em uma haste, no arranjo do cone da alcachofra, do abacaxi, ou no desenrolar da samambaia. .

Mais genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g onde g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.

Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci F(2) = 3 é conhecida como os números de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as enésimas potências:

$\left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{n}={\frac {1}{2}}\left(L(n)+F(n){\sqrt {5}}\right)$

Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmula:

$L(n)=F(n-1)+F(n+1)$

Com esta fórmula podemos montar a Sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1.

Como mostra a figura abaixo;

Uma grade preenchida com quadrados cujos lados são números de Fibonacci, formando sucessivamente retângulos cada vez maiores e tendentes à razão áurea

Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos

F(6) = (F(6) - 1) + (F(6) - 2) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
F(5) = (F(5) - 1) + (F(5) - 2) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
F(4) = (F(4) - 1) + (F(4) - 2) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
F(3) = (F(3) - 1) + (F(3) - 2) = 2 e 1 → 2
F(2) = (F(2) - 1) + (F(2) - 2) = 1 e 0 → 1

e a primeira posição 1.

Note que a Sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição; 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Representações alternativas

Para analizar a sequência de Fibonacci (e, em geral, quaisquer sequências) é conveniente obter outras maneiras de representá-la matematicamente.

Função geradora

Uma função geradora para uma sequência qualquer $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ é a função $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots$, ou seja, uma série potências formais em que cada coeficiente é um elemento da sequência. Os números de Fibonacci possuem a seguinte função geradora

$f\left(x\right)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$

Quando se expande esta função em potências de $x\,$, os coeficientes são justamente os termos da sequência de Fibonacci:

${\frac {x}{1-x-x^{2}}}=0x^{0}+1x^{1}+1x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+8x^{6}+13x^{7}+\cdots$

Fórmula explícita

Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que é F(n + 1) /F(n), tende à Proporção áurea, denominada φ. Esta é a raiz positiva da equação de segundo grau x² − x − 1 = 0, então φ² = φ + 1. Se multiplicarmos ambos os lados por φⁿ, teremos φⁿ⁺² = φⁿ⁺¹ + φⁿ, então a função φⁿ é uma sequência de Fibonacci. É possível demonstrar que a raiz negativa da mesma equação, 1 − φ, tem as mesmas propriedades, então as duas funções φⁿ e (1 − φ)ⁿ formam outra base para o espaço.

Ajustando os coeficientes para obter os valores iniciais adequados F(0) = 0 e F(1) = 1, temos a fórmula de Binet

$F\left(n\right)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\phi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\phi )^{n} \over {\sqrt {5}}}$

Este resultado também pode ser derivado utilizando-se a técnica de gerar funções, ou a técnica de resolver relações de multiplicação

Quando n tende a infinito, o segundo termo tende a zero, e os números de Fibonacci tendem à exponencial φⁿ/√5. O segundo termo já começa pequeno o suficiente para que os números de Fibonacci possam ser obtidos usando somente o primeiro termo arredondado para o inteiro mais próximo.

Forma matricial

Para argumentos muito grandes, quando utiliza-se um computador bignum, é mais fácil^{[carece de fontes]} calcular os números de Fibonacci usando a seguinte equação matricial:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}F\left(n+1\right)&F\left(n\right)\\F\left(n\right)&F\left(n-1\right)\end{bmatrix}}$

onde a potência de n é calculada elevando-se a matriz ao quadrado repetidas vezes.

Um exemplo de aplicação desta expressão matricial é na demonstração do teorema de Lamé sobre o algoritmo de Euclides para o cálculo do MDC. Veja por exemplo o capítulo sobre o máximo divisor comum do wikilivro de Teoria de números.

Representação da Série de Fibonacci na Molle Antonelliana em Turim, Itália.

Tipos de algoritmos

Há diversos algoritmos (métodos) para calcular o $n$-ésimo elemento da sequência de Fibonacci, sendo que os mais comuns empregam um das seguintes abordagens:

• Recursiva
• Iterativa
• Dividir para conquistar

A seguir é apresentado um exemplo de cada um destes tipos de algoritmos em pseudocódigo

Abordagem recursiva

A própria definição da sequência de Fibonacci pode ser tomada como base para implementar um algoritmo recursivo que gera os termos da sequência, como é mostrado a seguir: função ${\it {fib}}(n)\,$

se $n<2\,$ então

retorne $n\,$

caso contrário

retorne ${\it {fib}}(n-1)+{\it {fib}}(n-2)\,$

Apesar de simples, essa estratégia não é recomendável porque os mesmos valores são calculados muitas vezes (a não ser que a linguagem de programação guarde automaticamente os valores calculados nas chamadas anteriores da mesma função com o mesmo argumento). Uma análise cuidadosa mostra que a complexidade computacional do algoritmo é $O(\varphi ^{n})\,$. Por esse motivo, normalmente calcula-se os números de Fibonacci "de baixo para cima",^{[carece de fontes]} começando com os dois valores 0 e 1, e depois repetidamente substituindo-se o primeiro número pelo segundo, e o segundo número pela soma dos dois anteriores.

Uma outra alternativa é fazer uso da fórmula apresentada na seção anterior, que envolve potências da proporção áurea. No entanto, isso pode não ser muito conveniente para valores grandes de n, já que os erros de arredondamento se acumulam e a precisão dos números de ponto flutuante normalmente não será suficiente.

Abordagem iterativa

Com o uso de um algoritmo iterativo como o que é mostrado a seguir, é possível obter a sequência um pouco mais eficientemente:

função ${\it {fib}}(n)\,$

$i\gets 1$

$j\gets 0$

para $k\,$ desde $1\,$ até $n\,$ faça

$t\gets i+j$

$i\gets j$

$j\gets t$

retorne $j\,$

Neste caso, a complexidade computacional do algoritmo é $O(n)\,$.

Abordagem dividir para conquistar

O algoritmo abaixo é bem mais eficiente e baseia-se na representação matricial da sequência de Fibonacci. Sua complexidade computacional é $O(\log(n))\,$.

função ${\it {fib}}(n)\,$

se $n\leq 0$ então

retorne $0\,$

$i\gets n-1$

$(a,b)\gets (1,0)$

$(c,d)\gets (0,1)$

enquanto $i>0\,$ faça

se $i\,$ é par então

$(a,b)\gets (db+ca,d(b+a)+cb)$

$(c,d)\gets (c^{2}+d^{2},d(2c+d))$

$i\gets i\div 2$

retorne $a+b\,$

Aplicações

Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.

Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.

Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal (veja coeficiente binomial).

Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618) (obviamente ele só é útil para aproximações bem grosseiras: além do factor de conversão ser diferente de φ, a série converge para φ).

Exemplo de sons Fibonacci

Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók.

Le Corbusier usou a sequência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura.

Em The Wave Principal, Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.

Teorias mais recentes, defendem que é possível encontrar relações “de ouro” entre os pontos de pico e os de vale, como no gráfico abaixo:

Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmos com o valor entre este pico e o pico máximo, encontraremos também o número de ouro. O ciclo, naturalmente, pode estar invertido, e os momentos de pico podem se tornar momentos de vale, e vice-versa.

Generalizações

Uma generalização da sequência de Fibonacci são as Sequências de Lucas. Um tipo pode ser definido assim:

U(0) = 0

U(1) = 1

U(n+2) = PU(n+1) − QU(n)

onde a sequência normal de Fibonacci é o caso especial de P = 1 e Q = -1. Outro tipo de sequência de Lucas começa com V(0) = 2, V(1) = P. Tais sequências têm aplicações na Teoria de Números e na prova que um dado número é primo (primalidade).

Os polinômios de Fibonacci são outra generalização dos números de Fibonacci.

Identidades

F(n + 1) = F(n) + F(n − 1)

F(0) + F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1

F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) + … + n F(n) = n F(n + 2) − F(n + 3) + 2

Podemos provar essas identidades usando diferentes métodos. Mas, entretanto, nós queremos demonstrar uma elegante prova para cada um de seus usos aqui. Particularmente, F(n) podem ser interpretados como o número de formas de adicionar 1's e 2's até n − 1, convencionando-se que F(0) = 0, significando que nenhuma soma irá adicionar até -1, e que F(1) = 1, significando que a soma 0 será "adicionada" até 0. Aqui a ordem dos números importa. Por exemplo, 1 + 2 e 2 + 1 são consideradas duas diferentes somas e são contadas duas vezes.

Prova da primeira identidade

Sem perda de generalidade, podemos assumir n ≥ 1. Então F(n + 1) conta o número de formas de somar 1's e 2's até n.

Quando a primeira parcela é 1, há F(n) formas de completar a contagem para n − 1; quando a primeira parcela é 2, há F(n − 1) formas de completar a contagem para n − 2. Portanto, no total, há F(n) + F(n − 1) formas de completar a contagem para n. $\Box$

ohlé?

Prova da segunda identidade

Contamos o número de formas de somar 1's e 2's até n + 1 de forma que pelo menos uma das parcelas é 2.

Como antes, há F(n + 2) formas de somar 1's e 2's até n + 1 quando n ≥ 0. Já que há apenas uma soma n + 1 que não usa nenhum 2, a saber 1 + … + 1 (n + 1 termos), subtraímos 1 de F(n + 2).

Equivalentemente, podemos considerar a primeira ocorrência de 2 como uma parcela.

Se, em uma soma, a primeira parcela é 2, então há F(n) formas de completar a contagem para n − 1. Se a segunda parcela é 2, mas a primeira é 1, então há F(n − 1) formas de completar a contagem para n − 2. Continuando este raciocínio iremos chegar à (n + 1)-ésima parcela. Se é 2, mas todas as n parcelas anteriores são 1's, então há F(0) formas de completar a contagem para 0. Se uma soma contém 2 como uma parcela, a primeira ocorrência de tal parcela deve tomar lugar entre a primeira e a (n + 1)-ésima posição. Portanto F(n) + F(n − 1) + … + F(0) dá a contagem desejada. $\Box$

Prova da Terceira Identidade

Essa identidade pode ser estabelecida em duas fases. Primeiro, contamos o número de formas de somar 1's e 2's até -1, 0, …, ou n + 1 tal que pelo menos uma das parcelas seja 2.

Pela nossa primeira igualdade, há F(n + 2) − 1 formas de somar até n + 1; F(n + 1) − 1 formas de somar até n; …; e, finalmente, F(2) − 1 formas de somar até 1.

Como F(1) − 1 = F(0) = 0 , podemos adicionar todos as somas n + 1 e aplicar a segunda igualdade novamente para obter:    [F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] + … + [F(2) − 1]

= [F(n + 2) − 1] + [F(n + 1) − 1] + … + [F(2) − 1] + [F(1) − 1] + F(0)

= F(n + 2) + [F(n + 1) + … + F(1) + F(0)] − (n + 2)

= F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 2).

Por outro lado , observamos a partir da segunda igualdadee que existem

• F(0) + F(1) + … + F(n − 1) + F(n) meios somando com n + 1;
• F(0) + F(1) + … + F(n − 1) meios somando com n;

……

• F(0) meio somando com -1.

Somando todas as somas n + 1 , vemos que há

• (n + 1) F(0) + n F(1) + … + F(n) formas de somar até -1, 0, …, ou n + 1.

Já que os dois métodos de contagem se referem ao mesmo número , temos : (n + 1) F(0) + n F(1) + … + F(n) = F(n + 2) + F(n + 3) − (n + 2)

Finalmente, completamos a prova subtraindo a igualdade acima de n + 1 vezes a segunda igualdade. $\Box$

Número Tribonacci

Um número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas em vez de começarmos com dois termos pré-definidos, a sequência é iniciada com três termos pré-determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos precedentes. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são:

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, etc.

A Espiral

Na espiral formada pela folha de uma bromélia, pode ser percebida a sequência de Fibonacci, através da composição de quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência, por exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… , tendentes à razão áurea. Este mesmo tipo de espiral também pode ser percebida na concha do Nautilus marinho.

Repfigits

Um repfigit ou número de Keith é um número inteiro, superior a 9, tal que os seus dígitos, ao começar uma sequência de Fibonacci, alcançam posteriormente o referido número. Um exemplo é 47, porque a sequência de Fibonacci que começa com 4 e 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) alcança o 47. Outro exemplo é 197: 1+9+7= 17, 9+7+17= 33, 7+17+33= 57, 17+33+57= 107, 33+57+107= 197.

Um repfigit pode ser uma sequência de Tribonacci se houver três dígitos no número, e de Tetranacci se o número tiver quatro dígitos, etc.

Alguns Números de Keith conhecidos: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285…

Ligações externas

• «The Golden Section: Phi» 
• «Computing Fibonacci numbers on a Turing Machine» 
• «The Fibonacci Quarterly»  — um jornal acadêmico voltado ao estudo dos números de Fibonacci
• «Algoritmo de Fibonacci em O(lg n)» 
• Implementações do algoritmo em diversas linguagens de programação no Rosetta Code