Линейная алгебра

Лине́йная а́лгебра —

Определение

Линейная алгебра задаётся системой аксиом, которые определяют операции допустимые в этой алгебре.

Пусть даны два различных множества:

1) Поле K, элементы которого обозначаются греческими буквами $~\alpha ,\beta ,\ldots$ и называются коэффициентами или скалярами.

2) Множество L , элементы которого обозначаются латинскими буквами x, y, z и которые мы назовём векторами.

В качестве множества K в линейной алгебре рассматриваются в основном поле действительных чисел R, поле комплексных чисел C, тело кватернионов H и тело октав Ca. Приведём систему аксиом, когда множество коэффициентов K является полем. Систему аксиом для общего случая, когда множество коэффициентов K является телом можно найти в [1], [2].

Аксиомы линейной алгебры

• Первые четыре аксиомы требуют чтобы, элементы множества L по сложению были коммутативной (или абелевой) группой т.е.

1) $~x+y=y+x$; 2) $~(x+y)+z=x+(y+z)$; 3) $~x+\Theta =x$;

4) $~x+(-x)=\Theta$; где: $~\Theta$; нейтральный элемент относительно сложения;

• Ещё четыре аксиомы определяют закон умножения векторов и скаляров.

5) $~\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$; 6) $~\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$; 7) $~(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$;

8) $~1x=x$; где: $~1$ --нейтральный элемент относительно умножения или единица из K,

• В качестве девятой аксиомы используется условие существования

9) Для любых $~\alpha \in K$ и $~x\in L$ существует $~y=\alpha x$ при этом $~y\in L$.

Ограничения линейной алгебры

Как следует из приведенного определения, в линейной алгебре существуют ограничения по отношению к некоторым операциям с элементами K и L, а именно:

• в линейной алгебре не определено сложение вектора из множества L с коэффициентом из множества K, т.е. операция вида $~x+\alpha$, где $~x\in L$ и $~\alpha \in K$ не определена;
• в линейной алгебре не определено умножение векторов в множестве L, т.е. операция вида $~xy$, где $~x\in L$ и $~y\in L$ не определена;
• множества K и L имеют различную природу и не имеют общих элементов, т.е. $~K\bigcap L=\varnothing$.

Необходимо указать, что существуют мультивекторные пространства, в которых алгебра векторов не является линейной алгеброй. В этих пространствах множества K и L совпадают, при этом становится возможным умножение векторов.

Расширения

Более широким понятием является понятие пространства, т.е. множества элементов с определённой для этих элементов алгеброй. Если мы говорим о линейной алгебре, то ей будут соответствовать линейные пространства.

Вместо множества векторов L , могут выступать другие множества, например, множество матриц одинакового строения, множество функций и т.д. Для действий с элементами этих множеств также определена система аксиом линейной алгебры. И эти множества с определённой для них линейной алгеброй являются линейными пространствами.

История

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей, и естественно привело к появлению теории векторных пространств.

Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).

А также

Линейная алгебра важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

См. также

Линейные пространства

Литература

• 1. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

• 2. Б.Л. ван дер Варден Алгебра. М. Наука ФМ 1979.

• 3. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.-М.:Наука 1969, 528с.

• 4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.

• 5. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.

Дополнительная литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.-М.:Наука 1983, 336с.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных.-Л.:ЛГУ 1985, 496с.
• Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука 1966, 576с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-М.:Наука 1986, 304с.
• Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
• Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
• Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.
• Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- 655с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ (Конечномерные линейные пространства).- 264с.
• Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. Курс лекций для студентов факультета ВМК, МГУ.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

trtg:Алгебраи хаттӣ Doğrusal cebir