Мера множества

Мера — способ сопоставления множеству неотрицательного числа (называемого мерой этого множества), удовлетворяющий определённым аксиомам; так, мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$, обобщающая понятие объёма (или площади или длины, если $n=2$ или $1$ соответственно) на случай множеств, более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью.

Определения

Конечно-аддитивная мера

Пусть задано множество $X$ с выделенным классом подмножеств ${\mathcal {F}}$, замкнутым относительно конечных пересечений и объединений.

Функция $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$ называется конечно-аддитивной мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. $\mu (\varnothing )=0$.
2. Для любых $A,B\in {\mathcal {F}}$

   $\mu A+\mu B=\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)$

Счётно-аддитивная мера

Пусть задано множество $X$ с выделенной $\sigma$-алгеброй ${\mathcal {F}}$.

Функция $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$ называется счётно-аддитивной (или $\sigma$-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. $\mu (\varnothing )=0.$
2. ($\sigma$-аддитивность) Если $\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из ${\mathcal {F}}$, то есть $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j$, то

$\mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})$.

Замечания

• Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.
• Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
• Если мера всего пространства конечна, то есть $\mu (X)<\infty$, то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
• На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с Борелевсой $\sigma$-алгебры, на множество всех ограниченных подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры и такую, что конгруэнтные множества имеют равную меру. Начиная с размерности 3, это сделать невозможно.
• Обычно измеримые относительно заданной меры множества составляют собственный подкласс в классе всех подмножеств пространства $X$. И хотя существует несколько общих схем, позволяющих продолжать меры на большие классы измеримых множеств, иногда продолжение меры возможно лишь ценой утраты уникальных свойств исходной меры. Например, мера Лебега в конечномерных евклидовых пространствах является инвариантной относительной движений этого пространства. Всякое продолжение меры Лебега на класс всех подмножеств евклидова пространства уже не может быть инвариантным даже относительно одних только сдвигов (смотри Пример неизмеримого множества). Так что с практической точки зрения такие продолжения теряют всякую ценность.
• В более широком смысле термин "мера" означает любую конечно-аддитивную (не обязательно числовую) функцию множества. Естественной областью значений для меры, таким образом, является абелева полгуруппа, потому что от значений конечно-аддитивной меры требуется лишь то, чтобы их можно было складывать, причём сложение должно быть коммутативно, так как коммутативно объединение множеств. Для счётно-аддитивной меры естественная область значений --- топологическая абелева полугруппа (топология нужна для того, чтобы можно было говорить о сходимости ряда из мер счётного числа измеримых частей, на которые в определении счётной аддитивности разбивается измеримое множество).
• Хорошим примером нечисловой меры является мера со значениями в линейном пространстве, в частности, проекторонозначная мера, участвующая в "геометрической" формулировке спектральной теоремы.

Связанные определения

• Тройка $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ называется пространством с мерой, если $(X,\;{\mathcal {F}})$ есть измеримое пространство, а $\mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ — определённая на нём мера.
• Если $\mu$ является вероятностной мерой, то такое пространство с мерой называется вероятностным пространством.

Примеры

• Мера Жордана — пример конечно-аддитивной меры.
• Мера Лебега — пример бесконечной меры.
• Вероятность — пример конечной меры.
• Мера Хаусдорфа
• Мера Бореля
• Мера Хаара

Продолжение мер

Определять меру в явном виде на каждом множестве из соответствующей сигма-алгебры (кольца или алгебры) множеств зачастую сложно и не нужно, поскольку меру достаточно определить на каком-нибудь классе измеримых множеств, а затем с помощью стандартных процедур (и при известных условиях) продолжить на кольцо, алгебру или сигма-алгебру множеств, порождённые этим классом.

Продолжение с полукольца

Класс измеримых множеств по своей структуре должен быть кольцом множеств (если мера аддитивна) или сигма-алгеброй множеств (если мера счётно-аддитивна), однако для задания меры, в обоих случаях её достаточно определить на полукольце множеств — тогда мера единственным образом может быть продолжена на минимальное кольцо (минимальную сигма-алгебру) множеств, содержащее исходное полукольцо.

Пусть начальный класс измеримых множеств ${\mathcal {F}}_{0}$ имеет структуру полукольца: содержит пустое множество и для любых множеств A и B из ${\mathcal {F}}_{0}$ их разность допускает конечное разбиение на измеримые множества из ${\mathcal {F}}_{0}$, то есть найдётся конечный набор непересекающихся множеств $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ из ${\mathcal {F}}_{0}$, таких что

$A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}$.

Пусть ${\mathcal {F}}$ означает класс всех подмножеств рассматриваемого пространства, допускающих конечное разбиение на множества из ${\mathcal {F}}_{0}$. Класс ${\mathcal {F}}$ замкнут относительно операций разности, пересечения и объединения множеств, и таким образом, является кольцом множеств, содержащим ${\mathcal {F}}_{0}$ (причём, очевидно, минимальным). Всякая аддитивная функция $\mu$ на ${\mathcal {F}}_{0}$ однозначно продолжается до аддитивной функции на ${\mathcal {F}}$, если и только если её значения согласованы на ${\mathcal {F}}_{0}$. Это требование означает, что для любых наборов непересекающихся множеств $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ и $B_{1},B_{2},...,B_{m}$ из ${\mathcal {F}}_{0}$, если совпадает их объединение, то должна совпадать и сумма их мер:

Если $\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup \limits _{j=1}^{m}B_{j}$, то $\sum \limits _{i=1}^{n}\mu (A_{i})=\sum \limits _{j=1}^{m}\mu (B_{j})$.

Пример

Пусть ${\mathcal {F}}_{1}$ и ${\mathcal {F}}_{2}$ — классы измеримых множеств на пространствах $X_{1}$ и $X_{2}$, имеющие структуру полукольца. Множества вида $A\times B$, где $A\in {\mathcal {F}}_{1}$, $B\in {\mathcal {F}}_{2}$ образуют полукольцо ${\mathcal {F}}$ множеств на пространстве $X=X_{1}\times X_{2}$.

Если на ${\mathcal {F}}_{1}$ и ${\mathcal {F}}_{2}$ заданы меры $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$, то на ${\mathcal {F}}$ определена аддитивная функция $\mu (A\times B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)$, удовлетворяющая требованию согласованности. Её продолжение на минимальное кольцо, содержащее ${\mathcal {F}}$, называется прямым произведением мер $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ и обозначается $\mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}$. Если исходные меры были сигма-аддитивны на своих областях определения, то и мера $\mu$ будет сигма-аддитивной. Эта мера используется в теории кратных интегралов (смотри Теорема Фубини).

Вариации и обобщения

• Сигма-конечная мера
• Заряд (теория меры)

Литература

• Вулих, Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.

• П. Халмош. М.: Издательство иностранной литературы, 1953. — 282 с. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (книга в 2011 году является библиографической редкостью)
• Богачев В.И., Основы теории меры, 2-е изд., т. 1 и т. 2, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2006. (двухтомник Богачева на 2011 г. является самым полным учебником по теории меры на русском языке, содержит огромное количество ссылок на отечественную и иностранную литературу, а также исторические замечания)
• Богачев В.И., Гауссовские меры, Наука, Москва, 1997.
• Богачев В.И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва, 2008.
• Богачев В.И., Смолянов О.Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва, 2009.
• Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа Наука, 1976.