Равенство классов P и NP

В теории алгоритмов вопрос о равенстве классов сложности P и NP является одной из центральных открытых проблем уже более трех десятилетий. Если на него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически возможно решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас.

Классы P и NP

В конечном счете проблема P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти (за полиномиальное время и используя полиномиальную память)?

Проще говоря, действительно ли задачу легче проверить, чем решить?

Например, верно ли, что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, ...} есть такие, что их сумма равна 0 (задача о суммах подмножеств)? Ответ да, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0 легко проверяется несколькими сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификатом). Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Кажется, что подобрать числа сложнее (не доказано).

Это применимо ко всем подобным задачам, а не только к задаче о суммах подмножеств. Также это применимо к задачам, ответ на которые сложнее, чем ДА или НЕТ.

Содержание проблемы

Диаграмма классов сложности при условии P ≠ NP.

Отношения между классами P и NP рассматриваются в теории вычислительной сложности (разделе теории вычислений), изучающей ресурсы, необходимые для решения некоторой задачи. Наиболее общие ресурсы — это время (сколько нужно сделать шагов) и память (сколько памяти потребуется для решения задачи).

История

Из определения классов P и NP сразу вытекает следствие: $P\subseteq NP$. Однако до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, т. е. существует ли алгоритм, лежащий в NP, но не лежащий в P. Если такого алгоритма не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромную выгоду с вычислительной точки зрения. Сейчас самые сложные задачи из класса NP (так называемые NP-полные задачи) можно решить за экспоненциальное время, что почти всегда неприемлемо.

Впервые вопрос о равенстве классов был поставлен независимо Куком и в 1971 году. В настоящее время большинство математиков считают, что эти классы не равны. Согласно опросу, проведённому в 2002 году среди 100 учёных, 61 человек считает, что ответ — «не равны», 9 — «равны», 22 затруднились ответить и 8 считают, что гипотеза не выводима из текущей системы аксиом и, таким образом, не может быть доказана или опровергнута.

В настоящий момент проблема равенства классов P и NP является одной из семи задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клэя назначил премию в миллион долларов США.

Доказательство P ≠ NP

Vinay Deolalikar разослал некоторым ученым свое доказательство, что класс сложности P ≠ NP.

См. также

• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Доказательство, что P ≠ NP
• С. Кук Официальное описание проблемы (англ.)
• С. Николенко «P=?NP». Компьютерра, 2006.
• Н. П. Варновский. Проблема P =? NP, классы сложностей и криптография. 2005.
• Притыкин Ю. Л. Что такое проблема P vs. NP? // VIII летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
• А. А. Разборов P ?= NP или проблема перебора: взгляд из 90-х.
• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 528. — ISBN 0-201-44124-1.
• Gerhard J. Woeginger. The P-versus-NP page. (англ.) Список ссылок на предложенные «решения» данной проблемы. Некоторые из них утверждают равенство P и NP, некоторые — обратное.