Теорема Лапласа

О теореме из теории вероятностей см. статью Локальная теорема Муавра — Лапласа.

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры.

Формулировка

Для начала, введём несколько определений.

Пусть $A=(a_{ij})$ — матрица размера $n\times n$, и пусть выбраны любые $k$ строк матрицы $A$ с номерами $i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$ и любые $k$ столбцов с номерами $j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}$.

Определитель матрицы, получаемой из $A$ вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором $k$-го порядка, расположенным в строках с номерами $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ и столбцах с номерами $j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$. Он обозначается следующим образом:

$M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.$

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору $M$:

${\overline {M}}_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},$

где $i_{k+1}<\ldots <i_{n}$ и $j_{k+1}<\ldots <j_{n}$ — номера невыбранных строк и стобцов.

Алгебраическое дополнение минора $M$ определяется следующим образом:

$A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{i+j}{\overline {M}}_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

где $i=i_{1}+\ldots +i_{k}$, $j=j_{1}+\ldots +j_{k}$.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые $k$ строк матрицы $A$. Тогда определитель матрицы $A$ равен сумме всевозможных произведений миноров $k$-го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

$\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},$

где суммирование ведется по всевозможным номерам столбцов $j_{1},\ldots ,j_{k}$

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать $k$ столбцов из $n$, то есть биномиальному коэффициенту $\textstyle {n \choose k}$.

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть $A=(a_{ij})$ — квадратная матрица размера $n\times n$. Пусть также задан некоторый номер строки $i$ либо номер столбца $j$ матрицы $A$. Тогда определитель $A$ может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по $i$-й строке:

$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij},$

Разложение по $j$-му столбцу:

$\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij},$

где $A_{ij}$ — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером $i$ и столбце с номером $j$, $A_{ij}=(-1)^{i+j}a_{ij}.$ $A_{ij}$ называют алгебраическим дополнением к элементу $a_{ij}$.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить $k$ равным 1 и выбрать $i$-ую строку. Тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Примеры

Рассмотрим квадратную матрицу

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.$

Разложим определитель по элементам первой строки матрицы:

$|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.$

Также определитель можно разложить, например, по элементам второго столбца:

$|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.$

Литература

• Прасолов, В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — 2-е изд. — М., 2008. — С. 42-45.
• Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин М. Н., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 2-е изд. — М.: ЮНИТИ, 2000. — С. 21. — 471 с. — ISBN 5238000308.